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8.3 Differentiating xn

幂函数求导 - 掌握指数乘系数，指数减一法则

幂函数求导法则

核心公式

对任意实数 \( n \) 和常数 \( a \)，幂函数的导数规则为：

若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = nx^{n-1} \)
若 \( y = ax^n \)，则 \( \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \)

口诀："指数乘系数，指数减一"

法则记忆

例如，\( y = 3x^4 \) 的导数是 \( 3 \times 4x^{4-1} = 12x^3 \)。系数3乘以指数4，指数减1变为3。

分数指数幂函数求导

转化方法

根式可以转化为分数指数幂：

  • \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)
  • \( \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \)
  • \( \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \)
例子

求 \( y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \) 的导数：

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

负指数幂函数求导

转化方法

分式可以转化为负指数幂：

  • \( \frac{1}{x} = x^{-1} \)
  • \( \frac{1}{x^2} = x^{-2} \)
  • \( \frac{1}{x^3} = x^{-3} \)
例子

求 \( y = \frac{1}{x^2} = x^{-2} \) 的导数：

\( \frac{dy}{dx} = -2 x^{-2 - 1} = -2 x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)

复杂幂函数求导

处理技巧

  • 先化简：合并同底数幂，开方运算等
  • 再求导：转化为标准 \( ax^n \) 形式
  • 注意系数：常数系数也要参与运算
例子：\( y = 2\sqrt[3]{x^5} \)

先转化为：\( y = 2x^{\frac{5}{3}} \)

再求导：\( \frac{dy}{dx} = 2 \times \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} = \frac{10}{3} x^{\frac{2}{3}} = \frac{10}{3} \sqrt[3]{x^2} \)

幂函数求导的几何意义

几何解释：幂函数 \( y = ax^n \) 的导数 \( y' = anx^{n-1} \) 表示该函数在任意点处的切线斜率。

  • n > 1：函数递增且越来越陡峭（凸函数）
  • 0 < n < 1：函数递增但越来越平缓（凹函数）
  • n = 1：线性函数，导数为常数
  • n < 0：减函数，在定义域内有渐近线
直观理解

对于 \( y = x^2 \)，导数 \( y' = 2x \) 在x>0时为正且递增，说明抛物线在原点右侧向上开口且越来越陡峭。

求导公式的证明

从第一性原理证明

对于 \( y = x^n \)，使用第一性原理求导：

设 \( f(x) = x^n \)，则 \( f(x + h) = (x + h)^n \)

差值：\( f(x + h) - f(x) = (x + h)^n - x^n \)

比率：\( \frac{(x + h)^n - x^n}{h} \)

当h→0时，该极限就是导数。

二项式展开：对于较小的n，可以用二项式定理展开证明。对于一般n，需要使用极限的定义和数学归纳法。

应用技巧总结

求导技巧

  1. 标准化：将根式、分式等转化为分数/负指数幂形式
  2. 化简：对复杂表达式先合并同类项，再求导
  3. 求点梯度：先求导函数，再代入点的横坐标
  4. 复合函数：对于复合幂函数，使用链式法则求导
综合例子

求 \( y = \frac{2x^3}{\sqrt{x}} \) 的导数：

先化简：\( y = 2x^3 \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 2x^{3 - \frac{1}{2}} = 2x^{\frac{5}{2}} \)

再求导：\( \frac{dy}{dx} = 2 \times \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} = 5x^{\frac{3}{2}} = 5\sqrt{x^3} \)

常见错误提醒

  • 指数错误：记住是"指数减1"，不是"指数加1"
  • 系数遗漏：忘记将常数系数与指数相乘
  • 负指数误解：负指数幂求导后指数会更负
  • 根式转化：注意根式的指数形式
易错点

求 \( y = \frac{1}{x^2} \) 的导数，很多学生会写成 \( -\frac{1}{2x} \)，但正确应该是 \( -\frac{2}{x^3} \)。要记住：先转化成 \( x^{-2} \)，导数为 \( -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)。